3) AB - диаметр, ∠AKB = 90°. BO = 6 см. ∠ABK = 30°. Найти: AK, ∠OKA.

Решение:

• Так как AB — диаметр, то угол ACB — вписанный, опирающийся на диаметр, следовательно, он равен 90°.
• В прямоугольном треугольнике ABC: ∠BAC = 90° - ∠ABC = 90° - 30° = 60°.
• Рассмотрим треугольник OBK. Он равнобедренный, так как OB = OK (радиусы). Следовательно, ∠OBK = ∠OKB = 30°.
• Угол KOB — центральный, значит, он равен удвоенному вписанному углу KAB (или равен 180° - 2 * 30° = 120°).
• В треугольнике AOK: OA = OK (радиусы), значит, треугольник AOK равнобедренный.
• Угол AOB = 180° - ∠KOB = 180° - 120° = 60°.
• В равнобедренном треугольнике AOK, если угол при вершине равен 60°, то он равносторонний.
• Значит, AK = OA = OK = 6 см.
• Угол OKA = ∠OAK = ∠OAB = 60°.
• Угол OKA = 60° (из равностороннего треугольника AOK).
• Угол OKB = 30° (из равнобедренного треугольника OBK).
• ∠OKA = 60°.

Ответ: AK = 6 см, ∠OKA = 60°.