3) AB и CD – диаметры. ZABC = 29°. Найдите ZACD.

Решение:

• Диаметры AB и CD пересекаются в центре окружности O.
• Углы ∠ABC и ∠ADC являются вписанными углами, опирающимися на дугу AC. Следовательно, ∠ADC = ∠ABC = 29°.
• Угол ∠CAD является вписанным углом, опирающимся на дугу CD. Так как CD — диаметр, дуга CD равна 180°.
• Угол ∠CBD является вписанным углом, опирающимся на дугу CD. Следовательно, ∠CBD = 90° (так как опирается на диаметр).
• Рассмотрим треугольник BOC. OB и OC — радиусы, поэтому треугольник BOC — равнобедренный.
• Угол ∠BOC — центральный, опирается на дугу BC. Угол ∠BAC — вписанный, опирается на дугу BC. Поэтому ∠BOC = 2 * ∠BAC.
• Рассмотрим треугольник AOC. OA и OC — радиусы, поэтому треугольник AOC — равнобедренный.
• Угол ∠AOC — центральный, опирается на дугу AC. Угол ∠ABC — вписанный, опирается на дугу AC. Поэтому ∠AOC = 2 * ∠ABC = 2 * 29° = 58°.
• Так как ∠AOC — угол равнобедренного треугольника AOC, то углы при основании OA и OC равны: ∠OAC = ∠OCA = (180° - 58°) / 2 = 122° / 2 = 61°.
• Нам нужно найти угол ∠ACD.
• Рассмотрим треугольник AOD. OA и OD — радиусы, поэтому треугольник AOD — равнобедренный.
• Угол ∠AOD — развернутый, так как AB — диаметр, поэтому ∠AOD = 180°.
• Рассмотрим треугольник AOC. Угол ∠AOC = 58°.
• Угол ∠COD — развернутый, так как CD — диаметр.
• Угол ∠AOD = ∠AOC + ∠COD. Это неверно, так как A, O, B лежат на одной прямой, и C, O, D лежат на одной прямой.
• Угол ∠AOC и ∠BOD — вертикальные, значит ∠AOC = ∠BOD = 58°.
• Угол ∠AOD и ∠BOC — вертикальные.
• Так как AB — диаметр, угол ∠AOC + ∠BOC = 180°.
• ∠BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 58° = 122°.
• В равнобедренном треугольнике BOC углы при основании равны: ∠OBC = ∠OCB = (180° - 122°) / 2 = 58° / 2 = 29°.
• Угол ∠ACD состоит из двух углов: ∠ACO и ∠OCD.
• Мы нашли ∠ACO = 61°.
• Угол ∠OCD. Треугольник OCD — равнобедренный, так как OC и OD — радиусы. Угол ∠COD — развернутый, 180°. Это не так, CD — диаметр.
• Угол ∠OCD — один из углов равнобедренного треугольника OCD (если рассматривать его как треугольник).
• Рассмотрим треугольник AOD. OA=OD (радиусы). Угол ∠AOD = 180° - ∠AOC = 180° - 58° = 122°.
• Углы при основании ∠OAD = ∠ODA = (180° - 122°) / 2 = 58° / 2 = 29°.
• Мы ищем ∠ACD.
• ∠ACD = ∠ACO + ∠OCD.
• Мы знаем ∠ACO = 61°.
• Угол ∠OCD. Треугольник OCD — равнобедренный, OC=OD. Угол ∠COD — центральный, опирается на дугу CD. Опять же, CD — диаметр, поэтому ∠COD = 180°. Это некорректно.
• Угол ∠AOD и ∠BOC — вертикальные, поэтому ∠AOD = ∠BOC = 122°.
• Угол ∠AOC = 58°.
• Теперь рассмотрим угол ∠ACD.
• Угол ∠ACD — это вписанный угол, опирающийся на дугу AD.
• Центральный угол, опирающийся на дугу AD, это ∠AOD.
• ∠AOD = 180° - ∠AOC = 180° - 58° = 122°.
• Таким образом, ∠ACD = ∠AOD / 2 = 122° / 2 = 61°.

Ответ: 61°