3. ABCD A₁B₁C₁D₁ — прямоугольный параллелепипед. а) Найдите длину ломаной DCC₁B₁A₁, если AB = 2 см, BC = 2*AB, AA₁ = 3 см. б) Найдите площадь грани CC₁D₁D. Укажите грань параллелепипеда, которая имеет такую же площадь. в) Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда. г) Какой длины понадобится проволока, чтобы изготовить каркасную модель такого параллелепипеда?

Краткая запись:

• Параллелепипед ABCD A₁B₁C₁D₁
• AB = 2 см
• BC = 2 * AB
• AA₁ = 3 см
• Найти: а) длину ломаной DCC₁B₁A₁; б) площадь грани CC₁D₁D и равную ей грань; в) площадь полной поверхности; г) длину проволоки (периметр каркаса).

1. Шаг 1: Определим длины ребер параллелепипеда.
• AB = 2 см
• BC = 2 * AB = 2 * 2 см = 4 см. Так как ABCD - основание параллелепипеда, то AD = BC = 4 см, CD = AB = 2 см.
• AA₁ = 3 см. Это высота параллелепипеда, значит, BB₁ = CC₁ = DD₁ = 3 см.
2. Шаг 2: Найдем длину ломаной DCC₁B₁A₁.
• DC = 2 см (равно AB)
• CC₁ = 3 см (высота)
• C₁B₁ = 4 см (равно BC)
• B₁A₁ = 2 см (равно AB)
• Длина ломаной = DC + CC₁ + C₁B₁ + B₁A₁ = 2 + 3 + 4 + 2 = 11 см.
3. Шаг 3: Найдем площадь грани CC₁D₁D.
• Грань CC₁D₁D является прямоугольником.
• Её стороны: CD = 2 см и DD₁ = 3 см.
• Площадь грани CC₁D₁D = CD * DD₁ = 2 см * 3 см = 6 см².
• Грань, имеющая такую же площадь, — это грань ABB₁A₁, так как AB = 2 см и AA₁ = 3 см, и её площадь равна AB * AA₁ = 2 см * 3 см = 6 см².
4. Шаг 4: Найдем площадь полной поверхности параллелепипеда.
• Площадь полной поверхности (S) равна сумме площадей всех шести граней.
• Площадь основания ABCD = AB * BC = 2 см * 4 см = 8 см².
• Площадь верхней грани A₁B₁C₁D₁ = Площадь основания = 8 см².
• Площадь боковой грани ABB₁A₁ = AB * AA₁ = 2 см * 3 см = 6 см².
• Площадь боковой грани BCC₁B₁ = BC * BB₁ = 4 см * 3 см = 12 см².
• Площадь грани CC₁D₁D = CD * DD₁ = 2 см * 3 см = 6 см².
• Площадь грани ADD₁A₁ = AD * AA₁ = 4 см * 3 см = 12 см².
• S = 2 * (Площадь основания) + 2 * (Площадь боковой грани 1) + 2 * (Площадь боковой грани 2)
• S = 2 * (8 см²) + 2 * (6 см²) + 2 * (12 см²) = 16 см² + 12 см² + 24 см² = 52 см².
• Альтернативно: S = 2 * (AB*BC + BC*AA₁ + AA₁*AB) = 2 * (2*4 + 4*3 + 3*2) = 2 * (8 + 12 + 6) = 2 * 26 = 52 см².
5. Шаг 5: Найдем длину проволоки для каркасной модели (сумма длин всех ребер).
• У параллелепипеда 12 ребер: 4 ребра основания, 4 ребра верхнего основания и 4 боковых ребра.
• Длина проволоки = 4 * AB + 4 * BC + 4 * AA₁ = 4 * 2 см + 4 * 4 см + 4 * 3 см = 8 см + 16 см + 12 см = 36 см.

Ответ: а) Длина ломаной DCC₁B₁A₁ равна 11 см. б) Площадь грани CC₁D₁D равна 6 см². Такая же площадь у грани ABB₁A₁. в) Площадь полной поверхности параллелепипеда равна 52 см². г) Длина проволоки для каркасной модели составит 36 см.