3) ABCD — параллелограмм, AB = 20. Найдите периметр ABCD.

По рисунку отметками показано, что AB = AO, а также BC = OD. Из AB = 20 следует AO = 20.

Треугольник ABO равнобедренный, поэтому его углы при основании равны. Так как ∠ABO = 60°, то ∠BAO = 60° и ∠AOB = 60°. Следовательно, треугольник ABO равносторонний, BO = 20.

В параллелограмме противоположные стороны равны: CD = AB = 20 и AD = BC. Отметки на рисунке дают BC = OD, поэтому AD = OD. Треугольник AOD равнобедренный; угол AOD смежный с ∠AOB, значит, ∠AOD = 120°. Тогда ∠OAD = ∠ADO = 30°.

Поскольку ∠BAD = ∠BAO + ∠OAD = 90°, треугольник ABD прямоугольный. Угол между AB и BD равен 60° − 30° = 30°, поэтому AD = AB · tan 30° = 20/√3.

Периметр параллелограмма равен 2(AB + AD) = 2(20 + 20/√3) = 40 + 40√3/3.

Ответ: 40 + 40√3/3.