3. ABCD — прямоугольник, OE = 4, BE ⟂ AC, ∠ACD = 60°. Найти AC.

1. Обозначим AC = d. Так как ABCD — прямоугольник, треугольник ACD прямоугольный, а ∠ACD = 60°. Следовательно, ∠CAD = 30° и AD = d · sin 60° = (√3/2)d, CD = d · sin 30° = d/2.
2. Положим A = (0, 0), C = (AD, CD), B = (0, CD). Точка O — середина AC, поэтому её координаты соответствуют половине вектора AC. Точка E — проекция B на AC. Доля проекции вектора AB на AC равна (AB · AC)/(AC · AC) = CD²/d² = 1/4. Значит, AE = d/4, тогда как AO = d/2.
3. Поэтому OE = AO − AE = d/4. Из OE = 4 получаем d/4 = 4, откуда d = 16.

Ответ: AC = 16.