3. \angle ACD = 40^{\circ}, \angle CAD = 50^{\circ}. \text{ Найдите } \angle ABC.

Решение:

В данном изображении мы видим четырехугольник ABCD, вписанный в окружность. Даны два угла: \angle ACD = 40^{\circ} и \angle CAD = 50^{\circ}. Нам нужно найти \angle ABC.

1. Находим \angle ADC: Поскольку ABCD — вписанный четырехугольник, сумма противоположных углов равна 180^{\circ}. Треугольник ACD прямоугольный, так как опирается на диаметр (или подразумевается, что это прямоугольник, что подтверждается рисунком). Поэтому \angle ADC = 90^{\circ}.
2. Находим \angle ACD и \angle CAD: В прямоугольном треугольнике ACD, \angle ACD = 40^{\circ} и \angle CAD = 50^{\circ}. Сумма углов в треугольнике ACD: \angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 50^{\circ} + 40^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}.
3. Находим \angle ABC: \angle ABC и \angle ADC — противоположные углы вписанного четырехугольника. Следовательно, \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}. Так как \angle ADC = 90^{\circ}, то \angle ABC = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}.
4. Альтернативный подход (если ABCD — произвольный вписанный четырехугольник): Углы \angle ABD и \angle ACD опираются на одну дугу AD, поэтому \angle ABD = \angle ACD = 40^{\circ}. Углы \angle BAC и \angle BDC опираются на одну дугу BC, но нам неизвестен \angle BDC. Углы \angle BCA и \angle BDA опираются на дугу BA, но нам неизвестен \angle BDA. Углы \angle CDB и \angle CAB опираются на дугу CB. Углы \angle DBC и \angle DAC опираются на дугу DC, поэтому \angle DBC = \angle DAC = 50^{\circ}.
5. Суммируем углы для \angle ABC: \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 40^{\circ} + 50^{\circ} = 90^{\circ}.

Важно: Рисунок в задании изображает прямоугольник, вписанный в окружность, что соответствует \angle ADC = 90^{\circ}. Углы \angle ACD = 40^{\circ} и \angle CAD = 50^{\circ} соответствуют прямоугольному треугольнику ACD.