(3 бали) На скільки змінилася внутрішня енергія ідеального одноатомного газу об'ємом 20 л, якщо під час його ізохорного нагрівання тиск збільшився від 1,5·10^5 до 2,0·10^5 Па? Яку роботу виконав газ?

Розв'язання:

Дано:
\( V = 20 \text{ л} = 0.02 \text{ м}^3 \)
\( p_1 = 1.5 \cdot 10^5 \text{ Па} \)
\( p_2 = 2.0 \cdot 10^5 \text{ Па} \)
\( \Delta T \) — ?
\( A \) — ?

1. Зміна внутрішньої енергії:

Для одноатомного ідеального газу внутрішня енергія залежить від температури і визначається формулою:

\[ U = \frac{3}{2} \nu R T \]

За законом Шарля для ізохорного процесу (об'єм сталий):

\[ \frac{p}{T} = \text{const} \]

Отже, \( \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \). Звідси, \( \frac{T_2}{T_1} = \frac{p_2}{p_1} \).

Зміна внутрішньої енергії: \( \Delta U = U_2 - U_1 \). Оскільки \( V = \text{const} \), то \( \Delta U \) пропорційна зміні температури \( \Delta T \).

\( \Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T \). Також, \( pV = \nu R T \). Тоді \( \Delta U = \frac{3}{2} (p_2 V - p_1 V) \) , якщо \( T_2 > T_1 \) (нагрівання).

\[ \Delta U = \frac{3}{2} V (p_2 - p_1) \]

\[ \Delta U = \frac{3}{2} \cdot 0.02 \text{ м}^3 \cdot (2.0 \cdot 10^5 \text{ Па} - 1.5 \cdot 10^5 \text{ Па}) \]

\[ \Delta U = \frac{3}{2} \cdot 0.02 \text{ м}^3 \cdot 0.5 \cdot 10^5 \text{ Па} \]

\[ \Delta U = 0.03 \text{ м}^3 \cdot 0.5 \cdot 10^5 \text{ Па} = 0.015 \cdot 10^5 \text{ Дж} = 1500 \text{ Дж} \]

2. Робота газу:

При ізохорному процесі об'єм газу не змінюється \( (V = \text{const}) \). Робота газу визначається формулою:

\[ A = p \Delta V \]

Оскільки \( \Delta V = 0 \), то робота газу дорівнює нулю.

\[ A = p \cdot 0 = 0 \text{ Дж} \]

Відповідь: Зміна внутрішньої енергії становить 1500 Дж. Роботу газ не виконав (0 Дж).