Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 3. Баржа прошла по течению реки 48 км и, повернув обратно, прошла ещё 36 км, затратив на весь путь 6 часов. Найдите…Фото задания

Ответ:

Краткая запись:

  • Расстояние по течению: 48 км
  • Расстояние против течения: 36 км
  • Общее время в пути: 6 часов
  • Скорость течения реки: 5 км/ч
  • Найти: Собственная скорость баржи (v_баржи) — ?
Краткое пояснение: Задача решается с помощью уравнения, где суммируется время движения по течению и против течения, равное общему времени в пути. Скорость по течению равна сумме скорости баржи и скорости течения, а против течения — разности.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Обозначим собственную скорость баржи как $$v_{баржи}$$ км/ч.
  2. Шаг 2: Скорость баржи по течению: $$v_{по\text{ теч.}} = v_{баржи} + 5$$ км/ч.
  3. Шаг 3: Скорость баржи против течения: $$v_{против\text{ теч.}} = v_{баржи} - 5$$ км/ч.
  4. Шаг 4: Время движения по течению: $$t_{по\text{ теч.}} = \frac{48}{v_{баржи} + 5}$$ часов.
  5. Шаг 5: Время движения против течения: $$t_{против\text{ теч.}} = \frac{36}{v_{баржи} - 5}$$ часов.
  6. Шаг 6: Общее время в пути — сумма времени движения по течению и против течения: $$t_{общ} = t_{по\text{ теч.}} + t_{против\text{ теч.}}$$.
  7. Шаг 7: Подставим известные значения: $$6 = \frac{48}{v_{баржи} + 5} + \frac{36}{v_{баржи} - 5}$$.
  8. Шаг 8: Приведем дроби к общему знаменателю $$(v_{баржи} + 5)(v_{баржи} - 5)$$: $$6 = \frac{48(v_{баржи} - 5) + 36(v_{баржи} + 5)}{(v_{баржи} + 5)(v_{баржи} - 5)}$$.
  9. Шаг 9: Раскроем скобки в числителе: $$48v_{баржи} - 240 + 36v_{баржи} + 180 = 84v_{баржи} - 60$$.
  10. Шаг 10: Знаменатель — разность квадратов: $$(v_{баржи} + 5)(v_{баржи} - 5) = v_{баржи}^2 - 25$$.
  11. Шаг 11: Получаем уравнение: $$6 = \frac{84v_{баржи} - 60}{v_{баржи}^2 - 25}$$.
  12. Шаг 12: Умножим обе части на знаменатель: $$6(v_{баржи}^2 - 25) = 84v_{баржи} - 60$$.
  13. Шаг 13: Раскроем скобки: $$6v_{баржи}^2 - 150 = 84v_{баржи} - 60$$.
  14. Шаг 14: Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$6v_{баржи}^2 - 84v_{баржи} - 90 = 0$$.
  15. Шаг 15: Разделим все на 6: $$v_{баржи}^2 - 14v_{баржи} - 15 = 0$$.
  16. Шаг 16: Решим квадратное уравнение. Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \times 1 \times (-15) = 196 + 60 = 256$$. \( \sqrt{D} = 16 \).
  17. Шаг 17: Найдем корни: $$v_{баржи\text{)_1}} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$$. $$v_{баржи\text{)_2}} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$.
  18. Шаг 18: Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: $$v_{баржи} = 15$$ км/ч.

Ответ: Собственная скорость баржи равна 15 км/ч.