3. Бедрото на равнобедрен триъгълник е 5, а косинусът на ъгъла при основата е 3/5. Намерете основата, лицето и радиуса на описаната окръжност.

Решение:

Дадено е, че бедрото на равнобедрен триъгълник е \(a = 5\), а косинусът на ъгъла при основата е \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\). Трябва да намерим основата \(b\), лицето \(S\) и радиуса на описаната окръжност \(R\).

1. Намиране на основата \(b\):

В равнобедрен триъгълник, косинусът на ъгъла при основата е равен на половината от основата, разделена на бедрото. Нека \(\alpha\) е ъгълът при основата. Тогава:

\[ \cos \alpha = \frac{b/2}{a} \]\[ \frac{3}{5} = \frac{b/2}{5} \]\[ \frac{3}{5} = \frac{b}{10} \]\[ b = \frac{3}{5} \cdot 10 \]\[ b = 6 \]

2. Намиране на лицето \(S\):

Първо, ще намерим височината \(h\) към основата. В правоъгълния триъгълник, образуван от височината, половината основа и бедрото, имаме:

\[ h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = a^2 \]\[ h^2 + \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 5^2 \]\[ h^2 + 3^2 = 25 \]\[ h^2 + 9 = 25 \]\[ h^2 = 16 \]\[ h = 4 \]"

Лицето на триъгълника се изчислява по формулата:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \]\[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \]\[ S = 12 \]

3. Намиране на радиуса на описаната окръжност \(R\):

Радиусът на описаната окръжност за произволен триъгълник се изчислява по формулата:

\[ R = \frac{abc}{4S} \]\[ R = \frac{5 \cdot 5 \cdot 6}{4 \cdot 12} \]\[ R = \frac{150}{48} \]\[ R = \frac{25}{8} \]

Окончателни резултати:

• Основа: \(b = 6\)
• Лице: \(S = 12\)
• Радиус на описаната окръжност: \(R = \frac{25}{8}\)

Ответ: Основата е 6, лицето е 12, а радиусът на описаната окръжност е \(\frac{25}{8}\).