3. Через середину O отрезка AB проведена прямая CD. Докажите, что если ∠ODA = ∠OCB, то O — середина отрезка CD.

Рассмотрим треугольники ODA и OCB.

1. Так как прямые AB и CD пересекаются в точке O, то вертикальные углы ∠DOA и ∠COB равны.
2. По условию ∠ODA = ∠OCB.
3. Следовательно, треугольники ODA и OCB подобны по двум углам.
4. При этом стороне OA соответствует сторона OB, а стороне OD — сторона OC. Поэтому OA/OB = OD/OC.
5. Точка O — середина отрезка AB, значит OA = OB. Следовательно, OD = OC.

Точки C, O и D лежат на одной прямой, а отрезки OC и OD равны. Значит, точка O является серединой отрезка CD.

Ответ: O — середина отрезка CD.