3. Через вершину A параллелограмма ABCD проведена прямая a, не принадлежащая плоскости ABC, а через точку C — прямая b, параллельная прямой BD. Докажите, что прямые a и b скрещивающиеся.

Плоскость параллелограмма обозначим через α. Прямая b лежит в плоскости α, поскольку проходит через точку C и параллельна прямой BD, лежащей в этой плоскости.

1. Прямая a проходит через точку A плоскости α, но сама плоскости α не принадлежит. Поэтому прямая a пересекает плоскость α только в точке A.
2. Прямая b не проходит через точку A. Если бы A принадлежала b, то AC была бы параллельна BD. Но диагонали параллелограмма AC и BD пересекаются, а не являются параллельными.
3. Следовательно, прямые a и b не пересекаются.
4. Они также не параллельны: если бы a была параллельна b, то через точку A в плоскости α проходила бы прямая, параллельная b. Тогда a лежала бы в плоскости α, что противоречит условию.

Таким образом, прямые a и b не пересекаются и не являются параллельными. Значит, они скрещивающиеся.

Ответ: прямые a и b скрещивающиеся.