3. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 10, DK = 14, BC = 21. Найдите AD.

Обозначим \(KC=x\), а угол между прямыми \(AB\) и \(CD\) — через \(\alpha\).

По теореме о произведениях отрезков пересекающихся секущих:

\(KB\cdot KA=KC\cdot KD\).

Следовательно,

\(10\cdot KA=x\cdot14\),

\(KA=1.4x\).

По теореме косинусов для треугольника KBC:

\(BC^2=KB^2+KC^2-2\cdot KB\cdot KC\cos\alpha\),

\(21^2=10^2+x^2-20x\cos\alpha\),

\(20x\cos\alpha=x^2-341\).

По теореме косинусов для треугольника KAD:

\(AD^2=KA^2+KD^2-2\cdot KA\cdot KD\cos\alpha\),

\(AD^2=(1.4x)^2+14^2-2\cdot1.4x\cdot14\cos\alpha\).

Так как \(2\cdot1.4x\cdot14\cos\alpha=1.96\cdot20x\cos\alpha\), получаем:

\(AD^2=1.96x^2+196-1.96(x^2-341)=864.36\).

Тогда

\(AD=\sqrt{864.36}=29.4\).

Ответ: 29,4.