3. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС=80°, угол CAD=45° Найдите угол ACD. СДЕЛАТЬ РИСУНОК.

Решение:

Эта задача решается с помощью свойств вписанных углов в окружность.

1. Угол ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу ADC. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. Следовательно, дуга ADC = 2 * угол ABC = 2 * 80° = 160° (это неверно, угол ABC опирается на дугу ADC, но для решения нам нужен угол BCD, который опирается на дугу BAD).
2. Вписанный четырехугольник ABCD: сумма противоположных углов равна 180°. Значит, угол ADC = 180° - угол ABC = 180° - 80° = 100°.
3. Угол CAD — вписанный угол, опирающийся на дугу CD. Следовательно, дуга CD = 2 * угол CAD = 2 * 45° = 90°.
4. Угол CBD — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу CD. Значит, угол CBD = угол CAD = 45°.
5. Угол ACD — вписанный угол, опирающийся на дугу AD.
6. Угол ABC = 80°. Этот угол опирается на дугу ADC. Дуга ADC = 2 * 80° = 160°.
7. Угол ADC — вписанный угол, опирающийся на дугу ABC. Угол ADC = 180° - Угол ABC = 180° - 80° = 100°.
8. Угол CAD = 45°. Этот угол опирается на дугу CD. Значит, дуга CD = 2 * 45° = 90°.
9. Угол ACD — искомый угол. Он опирается на дугу AD.
10. Найдем дугу AD. Мы знаем, что дуга ADC = 160°. Дуга ADC состоит из дуг AD и CD. Дуга ADC = дуга AD + дуга CD. 160° = дуга AD + 90°. Отсюда, дуга AD = 160° - 90° = 70°.
11. Угол ACD — вписанный угол, опирающийся на дугу AD. Угол ACD = дуга AD / 2 = 70° / 2 = 35°.

Ответ: 35°