Ответ:

Перевод задания: Заполните пропуски правильной формой инфинитива или формой на -ing.

Hi. How are you? Would you like to come to my party next weekend? I’ve been meaning to invite you for weeks but I’ve been so busy making arrangements that it almost slipped my mind. Anyway, I’d love for you to come. Of course, you can bring a friend and don’t worry about finding a place to stay because you’re welcome to spend the night at my house. Also, my dad could pick you up at the station, if you like. Please reply as soon as you can to say that you’ll come.
Love,
Kathy

Привет! Как дела? Хочешь приехать на мою вечеринку в следующие выходные? Я уже несколько недель собиралась пригласить тебя, но была так занята приготовлениями, что чуть не забыла. В любом случае, я буду рада, если ты приедешь. Конечно, можешь привести друга и не беспокойся о том, где остановиться, потому что можешь переночевать у меня. Кроме того, мой папа может встретить тебя на станции, если хочешь. Пожалуйста, ответь при первой возможности и скажи, что приедешь.
С любовью,
Кэти

После would like, mean, would love и welcome нужен инфинитив с to; после предлога about — форма на -ing. После can и could используется инфинитив без to. В выражении a place to stay инфинитив поясняет существительное place.