3\(\cos^2 x\) + 8\(\sin^2 x\) + 5\(\sin x\cos x\) = 0

Используем \(\cos^2x=1-\\sin^2x\):

\(3(1-\sin^2x)+8\sin^2x+5\sin x\cos x=0\).

После упрощения:

\(3+5\sin^2x+5\sin x\cos x=0\).

Уравнение удобно рассматривать как однородное относительно \(\sin x\) и \(\cos x\). При \(\cos x\neq0\) разделим на \(\cos^2x\):

\(3\tan^2x+5\tan x+8=0\).

Дискриминант:

\(D=5^2-4\cdot3\cdot8=25-96=-71<0\).

Действительных значений \(\tan x\) нет. При \(\cos x=0\) исходное выражение равно \(8\neq0\).

Ответ: действительных решений нет.