№ 3. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Используя метод координат, найдите угол между прямыми AB₁ и A₁D.

Пусть ребро куба равно \(a\), а координаты вершин выбраны так: \(A(0;0;0)\), \(B(a;0;0)\), \(D(0;a;0)\), \(A_1(0;0;a)\), \(B_1(a;0;a)\).

1. Найдём направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{AB_1}=(a;0;a)\), \(\overrightarrow{A_1D}=(0;a;-a)\).

2. Их скалярное произведение равно \(a\cdot0+0\cdot a+a\cdot(-a)=-a^2\). Длины обоих векторов равны \(a\sqrt{2}\).

3. Для угла между прямыми берём острый угол, поэтому используем модуль скалярного произведения: \(\cos\varphi=\frac{|-a^2|}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}=\frac12\). Следовательно, \(\varphi=60^\circ\).

Ответ: 60°.