3. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точка M лежит на ребре BB₁, точка N лежит на ребре CC₁ и точка K лежит на ребре DD₁. а) Назовите плоскости, в которых лежат точки M; б) точка N. в) Постройте точку пересечения прямой KN и плоскости ABC. г) Постройте точку пересечения прямой KN и плоскости A₁B₁C₁. д) Постройте точку пересечения прямой MN и плоскости ABC. е) Постройте точку пересечения прямой MN и плоскости A₁B₁C₁.

а) Точка M лежит на ребре BB₁, поэтому она принадлежит двум граням куба: плоскости ABB₁A₁ и плоскости BCC₁B₁.

б) Точка N лежит на ребре CC₁, поэтому она принадлежит плоскости BCC₁B₁ и плоскости DCC₁D₁.

в) Прямая KN лежит в плоскости DCC₁D₁. Ребро DC принадлежит плоскости ABC, поэтому точка пересечения прямой KN с плоскостью ABC находится на прямой DC. Обозначим её X: X = KN ∩ DC.

г) Ребро D₁C₁ принадлежит плоскости A₁B₁C₁. Поэтому точка пересечения прямой KN с плоскостью A₁B₁C₁ находится на прямой D₁C₁. Обозначим её Y: Y = KN ∩ D₁C₁.

д) Прямая MN лежит в плоскости BCC₁B₁. Её пересечение с плоскостью ABC находится на общем ребре этих плоскостей — BC. Обозначим точку пересечения M₁: M₁ = MN ∩ BC.

е) Плоскости BCC₁B₁ и A₁B₁C₁ пересекаются по прямой B₁C₁. Поэтому точка пересечения прямой MN с плоскостью A₁B₁C₁ находится на прямой B₁C₁. Обозначим её N₁: N₁ = MN ∩ B₁C₁.

Ответ: а) ABB₁A₁ и BCC₁B₁; б) BCC₁B₁ и DCC₁D₁; в) X = KN ∩ DC; г) Y = KN ∩ D₁C₁; д) M₁ = MN ∩ BC; е) N₁ = MN ∩ B₁C₁.