3. Дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, $K\in DD_1$, $DK=KD_1$. Прямая $C_1K$ пересекает плоскость $ABCD$ в точке $N$, прямая $A_1K$ — в точке $E$. Найдите длину отрезка $NE$, если $AB=4$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, $K\in DD_1$, $DK=KD_1$. Прямая $C_1K$ пересекает…$ Фото задания

3. Дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, $K\in DD_1$, $DK=KD_1$. Прямая $C_1K$ пересекает плоскость $ABCD$ в точке $N$, прямая $A_1K$ — в точке $E$. Найдите длину отрезка $NE$, если $AB=4$.

Accepted Answer

Пусть сторона квадратного основания равна $a=4$, а высота призмы — $h$. Выберем координаты: $A(0,0,0)$, $D(a,0,0)$, $B(0,a,0)$, $C(a,a,0)$. Тогда $A_1(0,0,h)$, $C_1(a,a,h)$, а так как $K$ — середина $DD_1$, то $K(a,0,h/2)$.

Прямая через точку $P$ с направлением $v$ записывается как $P+t v$. Для пересечения с основанием берём координату $z=0$.

На прямой $C_1K$: $(a,a,h)+t(0,-a,-h/2)$. Из $h-th/2=0$ получаем $t=2$, поэтому $N=(a,-a,0)$.

На прямой $A_1K$: $(0,0,h)+t(a,0,-h/2)$. Из $h-th/2=0$ снова получаем $t=2$, поэтому $E=(2a,0,0)$.

Следовательно, $NE=\sqrt{(2a-a)^2+(0-(-a))^2}=a\sqrt{2}=4\sqrt{2}$.

Ответ: $4\sqrt{2}$.