3. Дана трапеция ABCD. Известно, что точка P лежит на AB, точка K — на BD. Доказать, что прямая CD лежит в плоскости α, если точки P, K, A лежат на плоскости α.

Доказательство.

1. Точки A и P лежат в плоскости α, поэтому прямая AP лежит в плоскости α.
2. Так как точки A, P и B лежат на одной прямой, прямая AP совпадает с прямой AB. Следовательно, прямая AB лежит в плоскости α, а значит, точка B принадлежит плоскости α.
3. Точки B и K лежат на прямой BD, причём B и K принадлежат плоскости α. Поэтому прямая BK, то есть прямая BD, лежит в плоскости α. Следовательно, точка D принадлежит плоскости α.
4. В трапеции ABCD основания параллельны, поэтому AB ∥ CD. Плоскость α содержит прямую AB и точку D, не лежащую на AB. Через точку D в плоскости α проходит единственная прямая, параллельная AB. Это прямая CD.

Следовательно, прямая CD лежит в плоскости α.

Ответ: CD ⊂ α.