3. Дано: AB ∥ CD; AB : CD = 3 : 5; CB = 64 см. Доказать: AO · CO = BO · DO. Найти: BO и CO.

Так как AB ∥ CD, треугольники AOB и DOC подобны: углы при O вертикальные, а соответствующие углы при параллельных прямых равны.

Из подобия следует пропорция \(BO:CO=AB:CD=3:5\). Пусть \(BO=3x\), \(CO=5x\). Поскольку точка O лежит на отрезке CB, имеем:

\(3x+5x=64\), откуда \(x=8\).

Следовательно, \(BO=24\) см, \(CO=40\) см.

Кроме того, из подобия \(AO:DO=BO:CO\), поэтому \(AO/DO=BO/CO\). Перемножая пропорцию крест-накрест, получаем \(AO\cdot CO=BO\cdot DO\). Что и требовалось доказать.

Ответ: BO = 24 см, CO = 40 см.