3. Дано: ABCD — параллелограмм; AA₁ = CC₁; BB₁ = DD₁. Доказать: A₁B₁C₁D₁ — параллелограмм.

Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина и AC, и BD.

Так как A₁ и C₁ лежат на AC и AA₁ = CC₁, точка O также является серединой A₁C₁.

Аналогично, B₁ и D₁ лежат на BD и BB₁ = DD₁, поэтому O — середина B₁D₁.

Следовательно, диагонали четырёхугольника A₁B₁C₁D₁ взаимно делятся пополам. По признаку параллелограмма этот четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: A₁B₁C₁D₁ — параллелограмм.