3. Дано: ABCD — трапеция, AM = MB, CN = ND, BC ∥ α. Докажите, что AD ∥ MN.

Обозначим плоскость трапеции ABCD через β. Точки M и N принадлежат плоскости β и плоскости α, поэтому прямая MN является линией пересечения плоскостей α и β.

1. По условию BC ∥ α, причём прямая BC лежит в плоскости β.
2. Следовательно, прямая BC параллельна линии пересечения плоскостей α и β: BC ∥ MN.
3. Так как ABCD — трапеция, то её основания параллельны: AD ∥ BC.
4. Через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной. Поэтому из AD ∥ BC и BC ∥ MN следует, что AD ∥ MN.

Ответ: AD ∥ MN.