3. Дано: ABCD — трапеция; AO : CO = 7 : 3; BD = 40 см. Доказать: BO · AO = CO · DO. Найти: BO и DO.

В трапеции основания BC и AD параллельны. Треугольники AOB и COD подобны: вертикальные углы при O равны, а соответствующие углы при параллельных основаниях равны.

Из подобия следует \(AO:CO=AD:BC=7:3\), а также \(BO:DO=BC:AD=3:7\).

Пусть \(BO=3x\), \(DO=7x\). Так как O лежит на диагонали BD:

\(3x+7x=40\), откуда \(x=4\). Значит, \(BO=12\) см, \(DO=28\) см.

Для доказательства используем пропорции: \(AO/CO=7/3\) и \(DO/BO=7/3\). Следовательно, \(AO/CO=DO/BO\), откуда \(BO\cdot AO=CO\cdot DO\).

Ответ: BO = 12 см, DO = 28 см.