3. Дано: ABCM — трапеция. AM = 7. Найти: CM. На рисунке BC = 5, AB = CM, ∠A = ∠M = 60°, BK ⟂ AM, CP ⟂ AM.

Опустим перпендикуляры BK и CP на основание AM. Четырёхугольник BKPC — прямоугольник, поэтому KP = BC = 5.

Трапеция равнобедренная, поскольку её боковые стороны AB и CM равны. Прямоугольные треугольники ABK и CPM равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, AK = PM.

Из разложения основания AM = AK + KP + PM получаем: 7 = AK + 5 + PM. Значит, AK = PM = 1.

В прямоугольном треугольнике CPM угол M равен 60°, а PM = 1. Поэтому cos 60° = PM / CM, откуда CM = 1 / cos 60° = 2.

Ответ: CM = 2.