3. Дано: AO = OD. Доказать: AB = CD.

Предположим, как показывает рисунок, что ABCD — трапеция с основаниями AD и BC, то есть AD ∥ BC.

1. Рассмотрим треугольники AOD и COB. У них ∠AOD = ∠COB как вертикальные, а ∠ADO = ∠CBO как накрест лежащие при AD ∥ BC. Поэтому треугольники подобны.

2. Из подобия следует \(\dfrac{AO}{CO}=\dfrac{DO}{BO}\). Поскольку AO = DO, получаем CO = BO.

3. Рассмотрим треугольники AOB и DOC. AO = DO по условию, BO = CO по предыдущему шагу, а ∠AOB = ∠DOC как вертикальные углы. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

4. У равных треугольников соответствующие стороны равны, значит AB = CD.

Замечание: параллельность AD и BC на рисунке не отмечена отдельными знаками. Если это не подразумевается условием, доказать утверждение нельзя: одного равенства AO = OD недостаточно.