3. Дано: MBND — параллелограмм; ∠ADM = ∠CBN. Доказать: ABCD — параллелограмм.

По условию MBND — параллелограмм, поэтому MB ∥ ND и MB = ND. Точки A, M, B лежат на одной прямой, а C, N, D — на другой; следовательно, AB ∥ CD.

Рассмотрим треугольники AMD и CBN. Поскольку AM и BM — противоположные лучи, а DN и CN — противоположные лучи, из условия ∠ADM = ∠CBN следует равенство смежных углов: ∠ADN = ∠BCM. Кроме того, ∠AND = ∠BMC, так как ND ∥ MB, а AN и BM лежат на одной прямой.

Значит, треугольники ADN и CBM подобны по двум углам. При этом ND = MB, поэтому коэффициент подобия равен 1 и AD = BC. Итак, в четырёхугольнике ABCD одна пара противоположных сторон параллельна (AB ∥ CD), а другая пара равна (AD = BC). Этого достаточно, чтобы заключить, что ABCD — параллелограмм.

Доказано: ABCD — параллелограмм.