3. Дано: MN — касательная к окружности, ∠POM = 110° (рис. 1). Вычислите градусную меру угла PMN.

Решение:

В задачах на касательную к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Это значит, что \( \angle OMP = 90^{\circ} \).

В \( \triangle POM \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle OMP = 90^{\circ} \)

\( \angle POM = 110^{\circ} \)

\( \angle OPM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 110^{\circ} = -20^{\circ} \)

Ошибка в условии задачи, угол \( \angle POM \) не может быть равен \( 110^{\circ} \) в данном треугольнике, так как \( \angle OMP = 90^{\circ} \). Если \( \angle POM \) — это центральный угол, который опирается на дугу, то \( \angle PMN \) — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. В таком случае \( \angle PMN = \frac{1}{2} \angle POM \). Но по рисунку \( \angle POM \) — тупой, и \( \angle PMN \) — острый.

Давайте предположим, что \( \angle POM = 110^{\circ} \) — это тупой угол, и \( \angle POM_{тупой} \) имеет в виду угол, смежный с \( \angle POM \), который является острым. Либо \( \angle POM \) — это угол, который опирается на большую дугу.

Если \( \angle POM = 110^{\circ} \) — это угол, который опирается на дугу MP, то \( \angle PMN \) является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу. В таком случае \( \angle PMN = \frac{1}{2} \angle POM = \frac{1}{2} \cdot 110^{\circ} = 55^{\circ} \).

Однако, если \( \angle POM = 110^{\circ} \) — это центральный угол, а \( \angle PMN \) — это угол между касательной и хордой, опирающийся на дугу MP, то \( \angle PMN \) равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Предполагая, что \( \angle POM = 110^{\circ} \) является центральным углом, а \( \angle PMN \) — углом между касательной и хордой, то:

\( \angle PMN = \frac{1}{2} \cdot \angle POM = \frac{1}{2} \cdot 110^{\circ} = 55^{\circ} \).

Ответ: 55°.