3. Дано: OE = 4. Найти: AC.

По рисунку ABCD — прямоугольник, O — точка пересечения диагоналей, а BE ⟂ AC. Угол между AC и CD равен 60°. Требуется найти AC.

В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = BO. Значит, треугольник AOB равнобедренный, а высота OE к основанию AB является также медианой. Следовательно, E — середина AB, и AE = EB.

Треугольник ABE прямоугольный при E. Угол между AC и CD равен 60°, а AB ⟂ CD, поэтому угол между AB и AC равен 30°. Тогда ∠BAE = 30°.

В прямоугольном треугольнике ABE сторона EB, лежащая напротив угла 30°, равна половине гипотенузы AB. Поскольку AE = EB, имеем AB = 2OE = 8.

Треугольник ABC прямоугольный при B, а ∠ACB = 60°, поэтому ∠BAC = 30°. В таком треугольнике катет AB, лежащий напротив угла 60°, равен AC·sin 60°; значит, AC = AB/(sin 60°) = 8/(√3/2) = 16√3/3.

Ответ: AC = 16√3/3.