3. Дано: призма ABC–A₁B₁C₁ — правильная. Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через прямую AC и точку M. На рисунке AA₁ = 4, AC = 4, M — середина BB₁.

В основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник, поэтому при AC = 4 его высота равна \(2\sqrt{3}\). Точка M — середина бокового ребра BB₁.

Плоскость через AC и M пересекает грань ABB₁A₁ по отрезку AM и грань BCC₁B₁ по отрезку CM. Сечение — треугольник ACM.

Выберем координаты: A = (0, 0, 0), C = (4, 0, 0), B = (2, 2√3, 0). Высота призмы равна 4, поэтому M = (2, 2√3, 2). Тогда AM = CM = √(4 + 12 + 4) = 2√5, а AC = 4.

Высота треугольника ACM к основанию AC равна расстоянию от M до AC: √((2√3)² + 2²) = 4.

Следовательно, S₍ACM₎ = (1/2) · 4 · 4 = 8.

Ответ: 8.