3. Даны числа z1 и z2 в показательной форме записи: z1 = 2e^(i*pi/4), z2 = 4e^(i*5pi/6). Вычислить: а) z1/z2; б) z1^10.

Решение:

Даны комплексные числа в показательной форме: \( z_1 = 2e^{i \frac{\pi}{4}} \) и \( z_2 = 4e^{i \frac{5\pi}{6}} \).

а) Найдём частное \( \frac{z_1}{z_2} \):

Для деления комплексных чисел в показательной форме нужно разделить их модули и вычесть аргументы:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{4} e^{i \left( \frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} \right)} \]

\[ = \frac{1}{2} e^{i \left( \frac{3\pi - 10\pi}{12} \right)} = \frac{1}{2} e^{i \left( -\frac{7\pi}{12} \right)} \]

Аргумент можно привести к положительному значению, добавив \( 2\pi \): \( -\frac{7\pi}{12} + 2\pi = -\frac{7\pi}{12} + \frac{24\pi}{12} = \frac{17\pi}{12} \).

\[ = \frac{1}{2} e^{i \frac{17\pi}{12}} \]

б) Найдём \( z_1^{10} \):

Для возведения комплексного числа в степень в показательной форме нужно возвести его модуль в эту степень и умножить аргумент на эту степень:

\[ z_1^{10} = (2e^{i \frac{\pi}{4}})^{10} = 2^{10} e^{i \left( 10 \u0007 \frac{\pi}{4} \right)} \]

\[ = 1024 e^{i \frac{10\pi}{4}} = 1024 e^{i \frac{5\pi}{2}} \]

Аргумент \( \frac{5\pi}{2} \) можно упростить: \( \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} \), поэтому \( e^{i \frac{5\pi}{2}} = e^{i \frac{\pi}{2}} \).

\[ = 1024 e^{i \frac{\pi}{2}} \]

Ответ: а) \( \frac{1}{2} e^{i \left( -\frac{7\pi}{12} \right)} = \frac{1}{2} e^{i \frac{17\pi}{12}} \); б) \( 1024 e^{i \frac{\pi}{2}} \).