3. Даны две стороны треугольника: b = 176√3, c = 169, и угол γ = 30°, противолежащий стороне c. Найдите третью сторону a.

По теореме косинусов, поскольку сторона c противолежит углу γ:

\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\).

Подставим данные: \(169^2=a^2+(176\sqrt3)^2-2a\cdot176\sqrt3\cdot\cos30^\circ\).

Так как \(\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\), получаем \(28561=a^2+92928-528a\), то есть \(a^2-528a+64367=0\).

Дискриминант: \(D=528^2-4\cdot64367=21316=146^2\). Поэтому \(a=\frac{528\pm146}{2}\), откуда \(a=337\) или \(a=191\).

Оба значения дают треугольник с указанными сторонами и углом: при заданных b и γ возможны два положения стороны a.

Ответ: \(a=191\) или \(a=337\).