3. Даны координаты четыре вершины пирамиды А(7;2;4), В(7;-1;-2), C(3;3;1), S(-4;2;1). а) найти угол между ребрами AS и SC, б) найти площадь ABS.

Решение:

Даны координаты вершин пирамиды: A(7;2;4), B(7;-1;-2), C(3;3;1), S(-4;2;1).

а) Найдём угол между рёбрами AS и SC.

1. Вычислим векторы AS и SC:
   \( \vec{AS} = S - A = (-4-7; 2-2; 1-4) = (-11; 0; -3) \)
   \( \vec{SC} = C - S = (3-(-4); 3-2; 1-1) = (7; 1; 0) \>
2. Найдём скалярное произведение векторов \( \vec{AS} \) и \( \vec{SC} \):
   \( \vec{AS} \cdot \vec{SC} = (-11)(7) + (0)(1) + (-3)(0) = -77 + 0 + 0 = -77 \>
3. Вычислим длины векторов \( \vec{AS} \) и \( \vec{SC} \):
   \( |\vec{AS}| = \sqrt{(-11)^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{121 + 0 + 9} = \sqrt{130} \)
   \( |\vec{SC}| = \sqrt{7^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 1 + 0} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \>
4. Найдём косинус угла между векторами по формуле: \( \cos(\angle) = \frac{\vec{AS} \cdot \vec{SC}}{|\vec{AS}| \cdot |\vec{SC}|} \)
   \( \cos(\angle) = \frac{-77}{\sqrt{130} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{-77}{5\sqrt{260}} = \frac{-77}{5 \cdot 2\sqrt{65}} = \frac{-77}{10\sqrt{65}} \>
5. Угол между рёбрами:
   \( \angle = \arccos{\left(\frac{-77}{10\sqrt{65}}\right)} \>

б) Найдём площадь треугольника ABS.

1. Вычислим векторы AB и AS:
   \( \vec{AB} = B - A = (7-7; -1-2; -2-4) = (0; -3; -6) \)
   \( \vec{AS} = S - A = (-4-7; 2-2; 1-4) = (-11; 0; -3) \>
2. Вычислим векторное произведение \( \vec{AB} \times \vec{AS} \):
   \[ \vec{AB} \times \vec{AS} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -3 & -6 \\ -11 & 0 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-3)(-3) - (-6)(0)) - \mathbf{j}((0)(-3) - (-6)(-11)) + \mathbf{k}((0)(0) - (-3)(-11)) \]
   \[ = \mathbf{i}(9 - 0) - \mathbf{j}(0 - 66) + \mathbf{k}(0 - 33) = 9\mathbf{i} + 66\mathbf{j} - 33\mathbf{k} = (9; 66; -33) \]
3. Площадь треугольника ABS равна половине модуля вектора \( \vec{AB} \times \vec{AS} \):
   \( S_{ABS} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AS}| = \frac{1}{2} \sqrt{9^2 + 66^2 + (-33)^2} \)
   \( S_{ABS} = \frac{1}{2} \sqrt{81 + 4356 + 1089} = \frac{1}{2} \sqrt{5526} \>
4. Упростим корень: \( 5526 = 9 \cdot 614 \).
   \( S_{ABS} = \frac{1}{2} \sqrt{9 \cdot 614} = \frac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{614} = \frac{3\sqrt{614}}{2} \>

Ответ: а) \( \angle = \arccos{\left(\frac{-77}{10\sqrt{65}}\right)} \); б) \( S_{ABS} = \frac{3\sqrt{614}}{2} \).