3. Даны координаты трех вершин прямоугольника ABCD: A(-5; 1), B(3; -1) и С(3; -3). 1) начертите этот прямоугольник. 2) найдите координаты точки D. 3) Найдите координаты точки пересечения отрезков АС и BD.

Решение:

1. Чертеж прямоугольника: (Графическое представление не может быть создано в текстовом формате. Представьте себе систему координат, отметьте точки A, B, C и постройте прямоугольник).

2. Найдём координаты точки D:

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Также диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Способ 1: Используя свойство параллельности сторон

• Вектор AB = (3 - (-5); -1 - 1) = (8; -2)
• Вектор DC должен быть равен вектору AB. Пусть D = (x; y). Тогда DC = (3 - x; -3 - y).
• 3 - x = 8 => x = -5
• -3 - y = -2 => y = -1
• Точка D = (-5; -1)

Способ 2: Используя середину диагонали

• Середина диагонали AC: \( \frac{-5+3}{2}; \frac{1+(-3)}{2} \) = \( \frac{-2}{2}; \frac{-2}{2} \) = (-1; -1)
• Середина диагонали BD: \( \frac{3+x}{2}; \frac{-1+y}{2} \)
• Приравнивая координаты середин:
• \( \frac{3+x}{2} = -1 \Rightarrow 3+x = -2 \Rightarrow x = -5 \)
• \( \frac{-1+y}{2} = -1 \Rightarrow -1+y = -2 \Rightarrow y = -1 \)
• Точка D = (-5; -1)

3. Найдем координаты точки пересечения отрезков АС и BD:

Точка пересечения диагоналей является серединой каждой диагонали.

• Середина диагонали AC: \( \frac{-5+3}{2}; \frac{1+(-3)}{2} \) = \( \frac{-2}{2}; \frac{-2}{2} \) = (-1; -1)
• Середина диагонали BD: \( \frac{3+(-5)}{2}; \frac{-1+(-1)}{2} \) = \( \frac{-2}{2}; \frac{-2}{2} \) = (-1; -1)

Ответ: 2) D(-5; -1); 3) (-1; -1)