3. Даны координаты трёх вершин прямоугольника ABCD: A (-4; -2), C (2; 4) и D (2; -2). 1) Начертите этот прямоугольник. 2) Найдите координаты вершины В. 3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника. 4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

Задание 3. Прямоугольник ABCD

Дано:

• Вершина A (-4; -2)
• Вершина C (2; 4)
• Вершина D (2; -2)
• Единичный отрезок = 1 см

1) Начертим прямоугольник:

Отметим точки A, C, D на координатной плоскости. Заметим, что точки D (2; -2) и A (-4; -2) имеют одинаковую координату Y, значит, сторона AD параллельна оси X. Точки D (2; -2) и C (2; 4) имеют одинаковую координату X, значит, сторона DC параллельна оси Y. Следовательно, угол ADC равен 90 градусов.

Чтобы найти координаты вершины B, нужно учесть, что в прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Значит, вектор AB должен быть равен вектору DC, и вектор BC должен быть равен вектору AD.

Вектор AD: \( (2 - (-4), -2 - (-2)) = (6, 0) \).

Вектор DC: \( (2 - 2, 4 - (-2)) = (0, 6) \).

Для нахождения координаты B, используем свойство параллелограмма (а прямоугольник — частный случай параллелограмма): \( \vec{AB} = \vec{DC} \) и \( \vec{BC} = \vec{AD} \).

Или, проще, координаты точки B можно найти, зная, что B должна иметь ту же координату X, что и A, и ту же координату Y, что и C. Или ту же координату X, что и C, и ту же координату Y, что и A. Проверим:

Если B имеет координату X как у A (-4) и координату Y как у C (4), то B(-4; 4). Проверим, получится ли прямоугольник.

Сторона AD: \( \sqrt{(2 - (-4))^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6 \).

Сторона DC: \( \sqrt{(2 - 2)^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6 \).

Сторона AB (при B(-4; 4)): \( \sqrt{(-4 - (-4))^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6 \).

Сторона BC (при B(-4; 4)): \( \sqrt{(2 - (-4))^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6 \).

Получился квадрат со стороной 6. Значит, B(-4; 4) - правильная координата.

2) Координаты вершины В: (-4; 4).

3) Найдем координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника:

Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой каждой диагонали. Возьмём диагональ AC.

Координаты середины отрезка находятся по формуле: \( M = {} \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} } \).

Для диагонали AC (A(-4; -2), C(2; 4)):

\( x_M = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

\( y_M = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Координаты точки пересечения диагоналей: (-1; 1).

4) Вычислим площадь и периметр прямоугольника:

Длина стороны AD (параллельна оси X): \( |2 - (-4)| = |6| = 6 \) см.

Длина стороны DC (параллельна оси Y): \( |4 - (-2)| = |6| = 6 \) см.

Площадь прямоугольника: \( S = \text{длина} \times \text{ширина} \).

\( S = 6 \text{ см} \times 6 \text{ см} = 36 \text{ см}^2 \).

Периметр прямоугольника: \( P = 2 \times (\text{длина} + \text{ширина}) \).

\( P = 2 \times (6 \text{ см} + 6 \text{ см}) = 2 \times 12 \text{ см} = 24 \text{ см} \).

Ответ: 2) B (-4; 4); 3) (-1; 1); 4) Площадь 36 см², Периметр 24 см.