3. Даны куб ABCDА₁B₁C₁D₁, точки P и T — середины отрезков C₁D₁ и BD соответственно, K = DC₁ ∩ CP, MK ⊥ DC₁, AB = 8. а) Выпишите истинные высказывания (см. рисунок 3): 1. AB ⊥ C₁D₁ 2. BB₁ = DD₁ 3. BC ⊥ CC₁ 4. MK ⊥ AD 5. AA₁ // (TPD₁) 6. TP ⊥ (DCK) 7. MK ⊥ (AA₁B₁) 8. (MKD) ⊥ (ABC) 9. B₁D² = AB² + AD² + CC₁² 10. TP = 4 11. B₁D² = 8³ 12. ΔB₁C₁D — равнобедренный. б) Укажите прямую, которая является проекцией прямой C₁D на плоскость грани ABCD.

Question

Вопрос:

3. Даны куб ABCDА₁B₁C₁D₁, точки P и T — середины отрезков C₁D₁ и BD соответственно, K = DC₁ ∩ CP, MK ⊥ DC₁, AB = 8. а) Выпишите истинные высказывания (см. рисунок 3): 1. AB ⊥ C₁D₁ 2. BB₁ = DD₁ 3. BC ⊥ CC₁ 4. MK ⊥ AD 5. AA₁ // (TPD₁) 6. TP ⊥ (DCK) 7. MK ⊥ (AA₁B₁) 8. (MKD) ⊥ (ABC) 9. B₁D² = AB² + AD² + CC₁² 10. TP = 4 11. B₁D² = 8³ 12. ΔB₁C₁D — равнобедренный. б) Укажите прямую, которая является проекцией прямой C₁D на плоскость грани ABCD.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

а) Анализ высказываний:

1. AB ⊥ C₁D₁ - Неверно. В кубе AB параллельна C₁D₁ и перпендикулярна CD.
2. BB₁ = DD₁ - Верно. Все боковые ребра куба равны.
3. BC ⊥ CC₁ - Верно. Ребро BC перпендикулярно ребру CC₁, так как они смежные и принадлежат граням, перпендикулярным друг другу.
4. MK ⊥ AD - Неверно. MK лежит в плоскости сечения, AD — ребро основания.
5. AA₁ // (TPD₁) - Верно. AA₁ параллельна плоскости TPD₁, так как AA₁ параллельна DD₁ (и лежит в плоскости ADD₁), а DD₁ параллельна плоскости TPD₁.
6. TP ⊥ (DCK) - Неверно. TP не перпендикулярно плоскости DCK.
7. MK ⊥ (AA₁B₁) - Неверно. MK не перпендикулярно плоскости AA₁B₁.
8. (MKD) ⊥ (ABC) - Неверно. Плоскость MKD не перпендикулярна плоскости ABC.
9. B₁D² = AB² + AD² + CC₁² - Верно. Это квадрат диагонали куба, вычисленный по теореме Пифагора в трех измерениях.
10. TP = 4 - Верно, если сторона куба равна 8. T - середина BD, P - середина C₁D₁. TP является средней линией треугольника BDC₁ и параллельна BC₁, а ее длина равна половине BC₁. Так как BC₁ = 8, то TP = 4.
11. B₁D² = 8³ - Неверно. B₁D - диагональ грани. B₁D² = AB² + AD² = 8² + 8² = 128.
12. ΔB₁C₁D — равнобедренный. - Верно. B₁C₁ = C₁D = 8 (стороны квадрата).

Истинные высказывания: 2, 3, 5, 9, 10, 12

б) Проекция прямой C₁D на плоскость грани ABCD:

Так как C₁D - прямая, то ее проекция на плоскость ABCD будет прямой, проходящей через проекцию точки C₁ и проекцию точки D.
Проекция точки D на плоскость ABCD - это сама точка D.
Плоскость ABCD является основанием куба, а C₁D - диагональ грани AA₁C₁D₁.
Прямая AA₁ перпендикулярна плоскости ABCD. Поэтому проекция прямой C₁D на плоскость ABCD будет прямая CD.

Ответ: CD