3. Даны точки A(-1; 5; 3), B(7; −1; 3), C(3; −2; 6). Доказать, что ΔABC — прямоугольный.

Найдём координаты векторов, выходящих из точки C:

\(\overrightarrow{CA}=A-C=(-1-3;\,5-(-2);\,3-6)=(-4;\,7;\,-3)\).

\(\overrightarrow{CB}=B-C=(7-3;\,-1-(-2);\,3-6)=(4;\,1;\,-3)\).

Вычислим их скалярное произведение:

\(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-4)\cdot4+7\cdot1+(-3)\cdot(-3)=-16+7+9=0\).

Так как скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то \(\overrightarrow{CA}\perp\overrightarrow{CB}\). Следовательно, угол \(ACB\) прямой.

Ответ: \(\triangle ABC\) — прямоугольный, прямой угол находится при вершине C.