3. Диагональ равнобокой трапеции с основаниями 8 см и 5 см является биссектрисой её острого угла трапеции. Найдите периметр трапеции.

Обозначим большее основание через \(AB=8\), меньшее — через \(CD=5\), а боковые стороны — через \(AD=BC=l\). В равнобокой трапеции короткое основание расположено симметрично относительно длинного.

Опустим перпендикуляры из концов меньшего основания на большее. Горизонтальный отрезок у каждого края равен \(\frac{8-5}{2}=1.5\) см. Пусть диагональ \(AC\) биссектрисой острого угла при \(A\).

Так как \(AB\parallel CD\), угол между \(AC\) и \(AB\) равен углу между \(AC\) и \(CD\). По условию первый угол равен углу между \(AD\) и \(AC\), значит эти два угла при пересечении диагонали с боковыми сторонами равны. Следовательно, в треугольнике \(ACD\) равны противоположные им стороны: \(AD=CD=5\) см.

Трапеция равнобокая, поэтому \(BC=AD=5\) см. Тогда периметр равен \(8+5+5+5=23\) см.

Ответ: 23 см.