№ 3. Длина окружности, полученной при пересечении сферы плоскостью, равна \(18\pi\), а расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно 12 см. Вычислите площадь сферы и объем шара, границей которого служит данная сфера.

Решение:

1. Длина окружности сечения равна \( C = 2\pi r_{сеч} \), где \( r_{сеч} \) — радиус окружности сечения. Найдём \( r_{сеч} \): \[ 18\pi = 2\pi r_{сеч} \] \( r_{сеч} = \frac{18\pi}{2\pi} = 9 \text{ см} \)
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы \( R \), расстоянием от центра до плоскости \( d = 12 \text{ см} \) и радиусом окружности сечения \( r_{сеч} = 9 \text{ см} \). По теореме Пифагора: \( R^2 = d^2 + r_{сеч}^2 \) \[ R^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \] \( R = \sqrt{225} = 15 \text{ см} \)
3. Вычислим площадь сферы: \( S = 4\pi R^2 = 4\pi (15 \text{ см})^2 = 4\pi \cdot 225 \text{ см}^2 = 900\pi \text{ см}^2 \)
4. Вычислим объём шара: \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (15 \text{ см})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 3375 \text{ см}^3 = 4\pi \cdot 1125 \text{ см}^3 = 4500\pi \text{ см}^3 \)

Ответ: Площадь сферы равна \(900\pi\) см², объём шара равен \(4500\pi\) см³.