3. Для игры, описанной в задании 12, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: Петя не может выиграть за один ход; Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.

Петя должен первым ходом оставить Ване позицию, из которой Ваня не может выиграть сразу, но после любого хода Вани Петя выигрывает одним ходом.

Числа, из которых можно получить не менее 69 за один ход, — от 35 до 68 включительно: их можно удвоить. Рассмотрим позиции, из которых любой ход Вани даёт число не менее 35.

При 17 камнях Ваня получает 18 или 34 — ни одно число не достигает 35. Значит, Петя может оставить Ване 17 камней: из полученных после хода Вани 18 или 34 он выигрывает удвоением.

При 16 камнях Ваня может прибавить 1 и получить 17. Тогда Петя не выигрывает одним ходом: из 17 получаются 18 или 34, что меньше 69. Поэтому 16 не подходит. Аналогично, если Петя оставит Ване 8 камней, Ваня может получить 9, затем Петя не сможет выиграть одним ходом; если оставить 7 — Ваня может получить 8. Однако из 8 Ваня может также удвоением получить 16, что не является немедленным выигрышем и позволяет Петя выиграть следующим ходом: из 17 Петя получает 34, а это всё ещё меньше 69 — так что 8 не подходит по этому пути. Проверяем минимальные начальные позиции напрямую.

Позиция 17 — проигрышная для игрока, которому предстоит ход: оба хода ведут в 18 или 34, из которых следующий игрок выигрывает удвоением. Обратно, позиция 8 позволяет Петя первым ходом получить 16, но Ваня может получить 17; после этого Петя выиграет удвоением до 34? Нет, это не достигает порога 69, поэтому такая позиция не даёт победы за второй ход. Для гарантированной победы Петя должен оставить Ване позицию 34: оттуда Ваня получает 35 или 68, а Петя выигрывает следующим ходом. Петя может оставить 34 из 17 удвоением, но тогда это уже не удовлетворяет условию: Петя не выигрывает первым ходом, однако Ваня после 34 может выиграть за один ход (получив 68, что меньше 69; на самом деле не может).

После 34 ход Вани даёт 35 или 68, и Петя выигрывает следующим ходом: из 35 удвоением получает 70, из 68 прибавлением 1 — 69. Значит, 17 подходит: Петя удваивает 17 до 34. Также 16 подходит: Петя удваивает до 32; Ваня получает 33 или 64, после чего Петя выигрывает удвоением либо прибавлением 1 соответственно. Петя не может выиграть первым ходом ни из 16, ни из 17.

Два наименьших подходящих значения — 16 и 17.

Ответ: 1617