3. Доказать: AB = CD.

На рисунке засечки обозначают равенство отрезков AO = OD. Для доказательства также необходимо условие BC ∥ AD: оно не отмечено знаками параллельности, поэтому используем его как подразумеваемое условие, если ABCD — трапеция.

1. В трапеции диагонали делятся точкой пересечения пропорционально основаниям: AO/OC = DO/OB = AD/BC.
2. Так как AO = DO, из пропорций следует OC = OB. Значит, AC = AO + OC = DO + OB = BD.
3. Равенство диагоналей трапеции влечёт равенство её боковых сторон. Это можно проверить координатно: положим A = (0, 0), D = (d, 0), B = (x, h), C = (x + c, h). Из AC = BD следует (x + c)² = (x − d)², откуда x + c − d = −x. Тогда CD² = (x + c − d)² + h² = x² + h² = AB².
4. Длины сторон положительны, поэтому из AB² = CD² получаем AB = CD.

Ответ: AB = CD.

Если параллельность оснований не предполагается, приведённых на рисунке данных недостаточно для доказательства.