3. Доказать равенство треугольников ADM и AFE.

Дано: На рисунке изображен четырехугольник, в котором диагонали пересекаются в точке А. Также отмечены равные углы при вершинах M и E, и равные отрезки AM = AF.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ADM и AFE.
2. Углы при вершине A: Угол ∠DAM и угол ∠FAE являются вертикальными. Вертикальные углы всегда равны. Следовательно, ∠DAM = ∠FAE.
3. Боковые стороны: По условию задачи, отрезки AM и AF равны: AM = AF.
4. Углы при основании: По условию задачи, углы ∠AMD и ∠AEF также равны: ∠AMD = ∠AEF.
5. Признак равенства треугольников: Мы имеем два угла и сторону, прилежащую к одному из этих углов, равными в обоих треугольниках. Это признак равенства треугольников по двум углам и стороне, прилежащей к одному из них (угол-угол-сторона, УУС).
6. Вывод: По признаку УУС, треугольники ADM и AFE равны.

Таким образом, равенство треугольников ADM и AFE доказано.