3. Докажите, что: а) \(\sqrt{2}\) — иррациональное число; б) \(\sqrt{3}\) — иррациональное число.

а) Предположим, что \(\sqrt2=\frac mn\), где дробь несократима. Тогда \(m^2=2n^2\), значит, \(m^2\) чётно и \(m\) чётно. Пусть \(m=2k\). Подстановка даёт \(n^2=2k^2\), поэтому и \(n\) чётно. Это противоречит несократимости дроби. Следовательно, \(\sqrt2\) иррационально.

б) Предположим, что \(\sqrt3=\frac mn\), где дробь несократима. Тогда \(m^2=3n^2\). Из делимости квадрата на 3 следует, что \(m\) делится на 3; положим \(m=3k\). Тогда \(n^2=3k^2\), откуда и \(n\) делится на 3. Получено противоречие несократимости дроби. Значит, \(\sqrt3\) иррационально.