3 Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. 4 Какая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку? 5 Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпендикуляре к отрезку. 112 Глава V

Разбор заданий:

Задание 3:

Теорема: Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

1. Пусть в треугольнике ABC биссектрисы углов A и B пересекаются в точке O.


2. Так как O лежит на биссектрисе угла A, то расстояние от O до сторон AB и AC одинаково.


3. Так как O лежит на биссектрисе угла B, то расстояние от O до сторон AB и BC одинаково.


4. Следовательно, расстояние от O до сторон AC и BC одинаково. Это означает, что точка O равноудалена от сторон AC и BC.


5. По свойству биссектрисы угла, точка O должна лежать на биссектрисе угла C.


6. Таким образом, все три биссектрисы пересекаются в точке O.

Задание 4:

Серединный перпендикуляр к отрезку – это прямая, которая перпендикулярна к этому отрезку и проходит через его середину.

Задание 5:

Теорема: Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Доказательство:

1. Пусть дан отрезок AB, M – его середина. Проведена прямая L, перпендикулярная AB и проходящая через M.


2. Возьмем произвольную точку P на прямой L.


3. Рассмотрим треугольники PAM и PBM.


4. По условию, AM = MB (так как M – середина AB).


5. Углы PMA и PMB – прямые (по 90 градусов), так как L перпендикулярна AB.


6. Сторона PM – общая для обоих треугольников.


7. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники PAM и PBM равны.


8. Следовательно, PA = PB (соответствующие стороны равных треугольников).


9. Это означает, что точка P равноудалена от концов отрезка AB.

Теорема (обратная): Любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство:

1. Пусть даны точки A и B, и точка P такая, что PA = PB.


2. Проведем прямую L через середину M отрезка AB так, чтобы L была перпендикулярна AB.


3. Рассмотрим треугольники PAM и PBM.


4. AM = MB (по построению M – середина AB).


5. PA = PB (по условию).


6. PM – общая сторона.


7. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), треугольники PAM и PBM равны.


8. Следовательно, углы PMA и PMB равны.


9. Так как углы PMA и PMB смежные и их сумма равна 180 градусов, то каждый из них равен 90 градусов.


10. Таким образом, прямая PM (которая является частью прямой L) перпендикулярна AB и проходит через середину M. Следовательно, точка P лежит на серединном перпендикуляре.

Глава V

Номер страницы: 112