3. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм (рис. 17). 1) Диагональ AC; ∠BAC = 40°, ∠CAD = 30°, ∠BCA = 30°, ∠ACD = 40°. 2) ∠ABC = 120°, ∠DAB = 60°, внешний угол при D между CD и продолжением AD равен 60°.

1) Из равенства накрест лежащих углов ∠BAC = ∠ACD = 40° следует, что AB ∥ CD. Из равенства ∠BCA = ∠CAD = 30° следует, что BC ∥ AD. Если в четырёхугольнике обе пары противоположных сторон параллельны, он является параллелограммом.

2) ∠ABC + ∠DAB = 120° + 60° = 180°, поэтому BC ∥ AD: односторонние углы при секущей AB supplementary. Внешний угол при D равен 60°, следовательно, внутренний ∠CDA = 180° − 60° = 120°. Тогда ∠ABC = ∠CDA = 120°. Равенство накрест лежащих углов при секущей CD показывает, что AB ∥ CD. Получены две пары параллельных противоположных сторон.

Ответ: в обоих случаях ABCD — параллелограмм.