3. Докажите, что если две дуги окружности равны и меньше полуокружности, то равны и стягивающие их хорды.

Доказательство:

Рассмотрим две равные дуги AB и CD окружности с центром O, которые меньше полуокружности.

По условию \(

Равные дуги стягиваются равными хордами. Это следует из того, что центральные углы, опирающиеся на равные дуги, также равны: \(

Рассмотрим треугольники \(

В этих треугольниках:

• Стороны OA, OB, OC, OD являются радиусами окружности, поэтому \( OA = OB = OC = OD \).
• Центральные углы \(

Следовательно, треугольники \(

Из равенства треугольников следует равенство их третьих сторон: \( AB = CD \).

Таким образом, если две дуги окружности равны и меньше полуокружности, то равны и стягивающие их хорды.

Доказано.