3. Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то он является прямоугольником.

Пусть диагонали параллелограмма ABCD равны: AC = BD. Рассмотрим треугольники ABC и BAD.

1. AB — общая сторона, AC = BD по условию, а BC = AD как противоположные стороны параллелограмма.
2. Следовательно, треугольники ABC и BAD равны по трём сторонам.
3. Из равенства треугольников следует, что ∠ABC = ∠BAD. В параллелограмме соседние углы в сумме составляют 180°, поэтому равные соседние углы равны по 90°.

Значит, параллелограмм имеет прямой угол и является прямоугольником.