3. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения $\left(\frac{1}{a+3}-\frac{27}{a^3+27}+\frac{9}{a^2-3a+9}\right)\cdot\left(a-\frac{6a-9}{a+3}\right)$ не зависит от значения $a$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $a\ne -3$, поскольку $a^3+27=(a+3)(a^2-3a+9)$.

Обозначим $a^2-3a+9=Q$. Тогда $a^3+27=(a+3)Q$.

Преобразуем первую скобку:

\[\frac{1}{a+3}-\frac{27}{(a+3)Q}+\frac{9}{Q}=\frac{Q-27+9(a+3)}{(a+3)Q}.\]

Упростим числитель:

\[Q-27+9(a+3)=a^2-3a+9-27+9a+27=a^2+6a+9=(a+3)^2.\]

Значит, первая скобка равна

\[\frac{(a+3)^2}{(a+3)Q}=\frac{a+3}{Q}.\]

Преобразуем вторую скобку:

\[a-\frac{6a-9}{a+3}=\frac{a(a+3)-(6a-9)}{a+3}=\frac{a^2+3a-6a+9}{a+3}=\frac{Q}{a+3}.\]

Тогда всё выражение:

\[\frac{a+3}{Q}\cdot\frac{Q}{a+3}=1.\]

Полученное значение постоянно и не зависит от $a$.

Ответ: $1$.

3. Докажите, что при всех допустимых значениях \(a\) значение выражения \(\left(\frac{1}{a+3}-\frac{27}{a^3+27}+\frac{9}{a^2-3a+9}\right)\cdot\left(a-\frac{6a-9}{a+3}\right)\) не зависит от значения \(a\).