3) Докажите, что при всех значениях $b\ne\pm1$ значение выражения $(b-1)^2\left(\dfrac{1}{b^2-2b+1}+\dfrac{1}{b^2-1}\right)+\dfrac{2}{b+1}$ не зависит от $b$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3) Докажите, что при всех значениях $b\ne\pm1$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $b^2-2b+1=(b-1)^2$, $b^2-1=(b-1)(b+1)$. Ограничение $b\ne\pm1$ позволяет сокращать соответствующие множители.

$(b-1)^2\left(\dfrac{1}{(b-1)^2}+\dfrac{1}{(b-1)(b+1)}\right)+\dfrac{2}{b+1}=1+\dfrac{b-1}{b+1}+\dfrac{2}{b+1}$.

Сложим дроби: $1+\dfrac{b-1+2}{b+1}=1+\dfrac{b+1}{b+1}=2$.

Получено постоянное значение, не зависящее от $b$.

Ответ: значение выражения равно 2.

3) Докажите, что при всех значениях \(b\ne\pm1\) значение выражения \((b-1)^2\left(\dfrac{1}{b^2-2b+1}+\dfrac{1}{b^2-1}\right)+\dfrac{2}{b+1}\) не зависит от \(b\).