3. Докажите, что при всех значениях $x\ne\pm2$ значение выражения $\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}:\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)$ не зависит от $x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите, что при всех значениях $x\ne\pm2$ значение выражения…$ Фото задания

3. Докажите, что при всех значениях $x\ne\pm2$ значение выражения $\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}:\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)$ не зависит от $x$.

Accepted Answer

В условии на фотографии левая часть выражения обрезана, поэтому прочтение первого слагаемого как $\frac{x}{x+2}$ не вполне подтверждено. Кроме того, при этом прочтении утверждение о независимости от $x$ неверно.

Действительно, при допустимых $x\ne-2,0,2$:

$\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}=\frac{1}{(x-2)(x+2)}+\frac{1}{(x-2)^2}=\frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}$.

Тогда частное равно $\frac{(x-2)^2}{2}:\frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}=\frac{(x-2)^4(x+2)}{4x}$, и всё выражение при таком чтении равно $\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^4(x+2)}{4x}$, что зависит от $x$.

Например, при $x=1$ получается $-\frac{5}{8}$, а при $x=3$ — $-\frac{5}{24}$. Значит, в условии, вероятно, есть неразличимый или обрезанный фрагмент либо опечатка. Для доказательства требуется чёткое изображение полного выражения.

3. Докажите, что при всех значениях \(x\ne\pm2\) значение выражения \(\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}:\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)\) не зависит от \(x\).

Ответ: