3. Докажите, что при всех значениях $y\ne\pm3$ значение выражения $\dfrac{2y}{y+3}+(y-3)^2\cdot\left(\dfrac{2}{9-6y+y^2}+\dfrac{1}{9-y^2}\right)$ равно 3.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите, что при всех значениях $y\ne\pm3$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители:

$9-6y+y^2=(y-3)^2$, а $9-y^2=(3-y)(3+y)=-(y-3)(y+3)$. Условие $y\ne\pm3$ гарантирует, что знаменатели не равны нулю.

Упростим выражение:

$\dfrac{2y}{y+3}+(y-3)^2\left(\dfrac{2}{(y-3)^2}-\dfrac{1}{(y-3)(y+3)}\right)$

$=\dfrac{2y}{y+3}+2-\dfrac{y-3}{y+3}$

$=2+\dfrac{2y-(y-3)}{y+3}=2+\dfrac{y+3}{y+3}=3$.

Следовательно, при всех $y\ne\pm3$ значение выражения равно 3.

3. Докажите, что при всех значениях \(y\ne\pm3\) значение выражения \(\dfrac{2y}{y+3}+(y-3)^2\cdot\left(\dfrac{2}{9-6y+y^2}+\dfrac{1}{9-y^2}\right)\) равно 3.